Résolution d'équations : pas successifs

Les algorithmes de seuil peuvent être employés pour obtenir des valeurs approchées des solutions d'une équation dont on ne sait pas trouver de valeurs exactes.

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-1;0]\) par \(f(x)=x+\text{e}^x\) .
On admet que l'équation \(f(x)=0\) a une unique solution sur  \([-1;0]\) . 

1. Dans un repère orthonormé, afficher la courbe représentative de la fonction \(f\) sur  \([-1;0]\) et donner une valeur approchée de cette solution par lecture graphique.
On subdivise (c'est-à-dire on découpe) l'intervalle  \([-1;0]\)  en \(n\) intervalles de même amplitude. On appelle \(p(n)\) l'amplitude de ces intervalles.

2. Donner la valeur de  \(p(10)\) , puis exprimer  \(p(n)\) en fonction de  \(n\) . Le nombre \(p(n)\) s'appelle souvent « pas ».

3. Soit  \(n=100\) , \(k\) un entier naturel de l'intervalle \([0;n]\) et   \(a_k(n)=-1+k\times p(n)\) . Écrire un programme en langage Python qui renvoie la liste contenant les images de  \(a_k(n)\) par la fonction \(f\)  pour chacune des valeurs de \(k\) lorsque \(a_k(n)\) est inférieur à la solution recherchée.

4. Donner un encadrement d'amplitude \(0,01\) de la solution de l'équation \(f(x)=0\) .

5. Faire de même avec \(n=1 \ 000\) .

Solution

from math import exp     # Il est nécessaire d'importer la fonction exponentielle.
a=-1
p=0.01
k=0
L=[a]
while(a+exp(a)<0) :        # La fonction f est strictement croissante sur [-1;0] ; la condition pour afficher les valeurs de a inférieures à la solution est donc que f(a) soit négatif. Le seuil est 0.
 a=a+p
 k=k+1
 L.append(round(a,2))                 # On remplit la liste L avec toutes les valeurs de a jusqu'à la dernière avant la solution. La fonction round(a,2) donne une valeur approchée de a avec 2 décimales. 
print(L)

Voici ce qu'affiche la console :

On en déduit que la solution de l'équation \(f(x)=0\) sur l'intervalle \([-1;0]\) est comprise entre \(-0,56\) et \(-0,55\) .